＊この記事で扱っている問題一覧＊
[1.1] 1980年 東大理科
長さ2の線分$\rm NS$を直径とする球面$\rm K$がある．点$\rm S$において，球面$\rm K$に接する平面の上で，$\rm S$を中心とする半径2の四分円(円周の$\dfrac{1}{4}$の長さをもつ円弧)$\stackrel{\Large\frown}{\rm AB}$と線分$\rm AB$をあわせて得られる曲線上を，点$\rm P$が一周する．このとき，線分$\rm NP$と球面$\rm K$との交点$\rm Q$の描く曲線の長さを求めよ．
[1.2] 2001年 東大文理共通
半径$r$の球面上に4点$\rm A$，$\rm B$，$\rm C$，$\rm D$がある．四面体$\rm ABCD$の各辺の長さは${\rm AB}=\sqrt{3}$，${\rm AC=AD=BC=BD=CD=2}$を満たしている．このとき，$r$の値を求めよ．
[1.3] 1983年 東大理科
数列$\{a_{n}\}$において，$a_{1}=1$であり，$n\geqq 2$に対して，$a_{n}$は次の条件(i)，(ii)を満たす自然数のうち最小のものであるという．
(i) $a_{n}$は$a_{1} , \dots\dots , a_{n-1}$のどの項とも異なる．
(ii) $a_{1} , \dots\dots , a_{n-1}$のうちから重複なくどの項を取り出しても，それらの和が$a_{n}$に等しくなることはない．
このとき，$a_{n}$を$n$で表し，その理由を述べよ．
[1.4] 1998年 東大理科
(1) $k$を自然数とする．$m$を$m=2^{k}$とおくとき，$0<n<m$を満たすすべての整数について，二項係数${}_m {\rm C}_n$は偶数であることを示せ．
(2) 以下の条件を満たす自然数$m$をすべて求めよ．
条件：$0\leqq n\leqq m$を満たすすべての整数$n$について，二項係数${}_m {\rm C}_n$は奇数である．
[1.5] 2015年 東大理科
$m$を2015以下の正の整数とする．${}_{2015} {\rm C}_m$が偶数となる最小の$m$を求めよ．
[1.6] 2015年 東京理科大学 薬学部
$n$自然数とする．$k=1 , 2 , 3$に対して，次の条件${\rm P}_{k}$を考える．
${\rm P}_{k}$：$k\leqq r\leqq n-k$を満たす全ての自然数$r$に対して${}_n {\rm C}_r$は偶数である．
(1) $2\leqq n\leqq 20$，$k=1$とする．$\rm P_{1}$を満たす$n$は全部で何個あるか．また，このうち，最大のものを求めよ．
(2) $4\leqq n\leqq 1000$，$k=2$とする．$\rm P_{2}$を満たす$n$は全部で何個あるか．また，このうち最大のものを求めよ．
(3) $6\leqq n\leqq 10^{16}$，$k=3$とする．$\rm P_{3}$を満たす$n$は全部で何個あるか．ただし，$0.3010<\log_{10}2<0.3011$とする．
東大数学パトロール（01）
