東大数学パトロール（01）

東大数学パトロール（01回）PDF

＊この記事で扱っている問題一覧＊

[1.1]　1980年　東大理科

長さ2の線分$\mathrm{N}\mathrm{S}$を直径とする球面$\mathrm{K}$がある．点$\mathrm{S}$において，球面$\mathrm{K}$に接する平面の上で，$\mathrm{S}$を中心とする半径2の四分円(円周の${\displaystyle \frac{1}{4}}$の長さをもつ円弧)$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$と線分$\mathrm{A}\mathrm{B}$をあわせて得られる曲線上を，点$\mathrm{P}$が一周する．このとき，線分$\mathrm{N}\mathrm{P}$と球面$\mathrm{K}$との交点$\mathrm{Q}$の描く曲線の長さを求めよ．

[1.2]　2001年　東大文理共通

半径$r$の球面上に4点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がある．四面体$\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$の各辺の長さは$\mathrm{A}\mathrm{B}=\sqrt{3}$，$\mathrm{A}\mathrm{C}=\mathrm{A}\mathrm{D}=\mathrm{B}\mathrm{C}=\mathrm{B}\mathrm{D}=\mathrm{C}\mathrm{D}=2$を満たしている．このとき，$r$の値を求めよ．

[1.3]　1983年　東大理科

数列$\{a_n\}$において，$a_1=1$であり，$n\geqq 2$に対して，$a_n$は次の条件(i)，(ii)を満たす自然数のうち最小のものであるという．

(i)　$a_n$は$a_1,\dots \dots ,a_{n-1}$のどの項とも異なる．

(ii)　$a_1,\dots \dots ,a_{n-1}$のうちから重複なくどの項を取り出しても，それらの和が$a_n$に等しくなることはない．

このとき，$a_n$を$n$で表し，その理由を述べよ．

[1.4]　1998年　東大理科

(1)　$k$を自然数とする．$m$を$m=2^k$とおくとき，$0<n<m$を満たすすべての整数について，二項係数${}_m{\mathrm{C}}_n$は偶数であることを示せ．

(2)　以下の条件を満たす自然数$m$をすべて求めよ．

条件：$0\leqq n\leqq m$を満たすすべての整数$n$について，二項係数${}_m{\mathrm{C}}_n$は奇数である．

[1.5]　2015年　東大理科

$m$を2015以下の正の整数とする．${}_{2015}{\mathrm{C}}_m$が偶数となる最小の$m$を求めよ．

[1.6]　2015年　東京理科大学　薬学部

$n$自然数とする．$k=1,2,3$に対して，次の条件${\mathrm{P}}_k$を考える．

${\mathrm{P}}_k$：$k\leqq r\leqq n-k$を満たす全ての自然数$r$に対して${}_n{\mathrm{C}}_r$は偶数である．

(1)　$2\leqq n\leqq 20$，$k=1$とする．${\mathrm{P}}_1$を満たす$n$は全部で何個あるか．また，このうち，最大のものを求めよ．

(2)　$4\leqq n\leqq 1000$，$k=2$とする．${\mathrm{P}}_2$を満たす$n$は全部で何個あるか．また，このうち最大のものを求めよ．

(3)　$6\leqq n\leqq {10}^{16}$，$k=3$とする．${\mathrm{P}}_3$を満たす$n$は全部で何個あるか．ただし，$0.3010<{\log }_{10}2<0.3011$とする．