東大数学パトロール(01)

東大数学パトロール(01回)PDF

 

*この記事で扱っている問題一覧*

[1.1] 1980年 東大理科

長さ2の線分$\rm NS$を直径とする球面$\rm K$がある.点$\rm S$において,球面$\rm K$に接する平面の上で,$\rm S$を中心とする半径2の四分円(円周の$\dfrac{1}{4}$の長さをもつ円弧)$\stackrel{\Large\frown}{\rm AB}$と線分$\rm AB$をあわせて得られる曲線上を,点$\rm P$が一周する.このとき,線分$\rm NP$と球面$\rm K$との交点$\rm Q$の描く曲線の長さを求めよ.

[1.2] 2001年 東大文理共通

半径$r$の球面上に4点$\rm A$,$\rm B$,$\rm C$,$\rm D$がある.四面体$\rm ABCD$の各辺の長さは${\rm AB}=\sqrt{3}$,${\rm AC=AD=BC=BD=CD=2}$を満たしている.このとき,$r$の値を求めよ.

[1.3] 1983年 東大理科

数列$\{a_{n}\}$において,$a_{1}=1$であり,$n\geqq 2$に対して,$a_{n}$は次の条件(i),(ii)を満たす自然数のうち最小のものであるという.

(i) $a_{n}$は$a_{1} , \dots\dots , a_{n-1}$のどの項とも異なる.

(ii) $a_{1} , \dots\dots , a_{n-1}$のうちから重複なくどの項を取り出しても,それらの和が$a_{n}$に等しくなることはない.

このとき,$a_{n}$を$n$で表し,その理由を述べよ.

[1.4] 1998年 東大理科

(1) $k$を自然数とする.$m$を$m=2^{k}$とおくとき,$0<n<m$を満たすすべての整数について,二項係数${}_m {\rm C}_n$は偶数であることを示せ.

(2) 以下の条件を満たす自然数$m$をすべて求めよ.

条件:$0\leqq n\leqq m$を満たすすべての整数$n$について,二項係数${}_m {\rm C}_n$は奇数である.

[1.5] 2015年 東大理科

$m$を2015以下の正の整数とする.${}_{2015} {\rm C}_m$が偶数となる最小の$m$を求めよ.

[1.6] 2015年 東京理科大学 薬学部

$n$自然数とする.$k=1 , 2 , 3$に対して,次の条件${\rm P}_{k}$を考える.

${\rm P}_{k}$:$k\leqq r\leqq n-k$を満たす全ての自然数$r$に対して${}_n {\rm C}_r$は偶数である.

(1) $2\leqq n\leqq 20$,$k=1$とする.$\rm P_{1}$を満たす$n$は全部で何個あるか.また,このうち,最大のものを求めよ.

(2) $4\leqq n\leqq 1000$,$k=2$とする.$\rm P_{2}$を満たす$n$は全部で何個あるか.また,このうち最大のものを求めよ.

(3) $6\leqq n\leqq 10^{16}$,$k=3$とする.$\rm P_{3}$を満たす$n$は全部で何個あるか.ただし,$0.3010<\log_{10}2<0.3011$とする.

 

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