東大数学パトロール（02）

東大数学パトロール（02）

＊この記事で扱っている問題一覧＊

[2.1]　2020年東大理科

$a,b,c,p$を実数とする．不等式

$a{x}^2+bx+c>0$，$b{x}^2+cx+a>0$，$c{x}^2+ax+b>0$

をすべて満たす実数$x$の集合と，$x>p$を満たす実数$x$の集合が一致しているとする．

(1)　$a,b,c$はすべて$0$以上であることを示せ．

(2)　$a,b,c$のうち少なくとも1個は$0$であることを示せ．

(3)　$p=0$であることを示せ．

[2.2]　1992年東北大理系（後期）

$a_1\geqq a_2\geqq \dots \cdots \geqq a_n$，$b_1\geqq b_2\geqq \dots \cdots \geqq b_n$のとき，次の不等式を証明せよ．

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\left(\sum _{i=1}^n{b}_i\right)\leqq n\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i}$

[2.3]　1967年東大文理共通(2次試験)

$a$が正の定数，$n$が正の整数ならば，$x\geqq 0$において不等式$a{x}^{n+1}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt[n]{a}}}>x$が成り立つことを証明せよ．

[2.4]　1992年東大理科

$a$，$b$を正の実数とする．座標空間の4点$\mathrm{P}(0,0,0)$，$\mathrm{Q}(a,0,0)$，$\mathrm{R}(0,1,0)$，$\mathrm{S}(0,1,b)$が半径$1$の同一球面上にあるとき，$\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R},\mathrm{S}$を頂点とする四面体に内接する球の半径を$r$とすれば，次の2つの不等式が成り立つことを示せ．

${({\displaystyle \frac{1}{r}}-{\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}})}^2\geqq {\displaystyle \frac{20}{3}}$，${\displaystyle \frac{1}{r}}\geqq 2\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}+2\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{3}}}$

[2.5]　1994年京大後期文理共通

$a+b+c=0$を満たす実数$a,b,c$について，${(|a|+|b|+|c|)}^2\geqq 2(a^2+b^2+c^2)$が成り立つことを示せ．また，ここで等号が成り立つのはどのような場合か．

[2.6]　1987早稲田政経

$n$個の正の数$a_1,a_2,\dots \dots ,a_n$がある．ただし，$n\geqq 2$とする．

$A=a_1+a_2+\dots \cdots +a_n$　$B={\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}+\dots \cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_n}}$

とおくとき，$A$，$B$のうち少なくとも一方は$n$より小さくないことを証明せよ．

[2.7]　1994年甲南大・文

$a_1,a_2,a_3,\dots \dots ,a_n$を$0<a_i<1$$(i=1,2,3,\dots \dots ,n)$である$n$個の実数とするとき，次の不等式のうち少なくとも1つは成り立つことを示せ．

$a_1{a}_2{a}_3\dots \dots a_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{2^n}}$，$(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3)\dots \dots (1-a_n)\leqq {\displaystyle \frac{1}{2^n}}$

[2.8]　1987年東大理科

$n$を2以上の自然数とする．$x_1\geqq x_2\geqq \dots \cdots \geqq x_n$および，$y_1\geqq y_2\geqq \dots \cdots \geqq y_n$を満足する数列$x_1,x_2,\dots \dots ,x_n$および$y_1,y_2,\dots \dots ,y_n$が与えられている．$y_1,y_2,\dots \dots ,y_n$を並びかえて得られるどのような数列$z_1,z_2,\dots \dots ,z_n$に対しても

${\displaystyle \sum _{j=1}^n(x_j-y_j{)}^2\leqq \sum _{j=1}^n(x_j-z_j{)}^2}$

が成り立つことを証明せよ．

[2.9]　1984年一橋大

(1)　実数$a,b,c,d$の大小関係が$a>b>c>d$であるとき，3つの数$ab+cd$，$ac+bd$，$ad+bc$の大きさを比較せよ．

(2)　$2n$個の実数$x_1,x_2,x_3,\dots \dots ,x_{2n}$の大小関係が

$x_1>x_2>x_3>\dots \cdots >x_{2n}$

であるとする．これら$2n$個の数を2個ずつからなる$n$個の組に分け，組にした数どうしの積をつくり，それら$n$個の積の総和を考える．このとき最も大きな総和が得られる組み分けの仕方はどのようなものか．また最も小さな総和が得られる組み分けの仕方はどのようなものか．

[2.10]　1971年東大文理共通二次

正数$x$を与えて，$2a_1=x$，$2a_2=a_1^2+1$，$\dots$，$2a_{n+1}=a_n^2+1$，$\dots$のように数列$\{a_n\}$を定めるとき

(1)　$x\ne 2$ならば，$a_1<a_2<\cdots <a_n<\dots$となることを証明せよ．

(2)　$x<2$ならば，$a_n<1$なることを証明せよ．このとき，正数$\epsilon$を$1-{\displaystyle \frac{x}{2}}$より小となるようにとって，$a_1,a_2,\dots ,a_n$までが$1-\epsilon$以下になったとすれば，個数$n$について次の不等式が成り立つことを証明せよ．

$2-x>n{\epsilon }^2$

[2.11]　1999年東大理科

複素数$z_n$$(n=1,2,\dots \dots )$を$z_1=1$，$z_{n+1}=(3+4i)z_n+1$によって定める．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　すべての自然数$n$について${\displaystyle \frac{3\times 5^{n-1}}{4}}<|z_n|<{\displaystyle \frac{5}{4}}$が成り立つことを証明せよ．

(2)　実数$r>0$に対して$|z_n|\leqq r$を満たす$z_n$の個数を$f(r)$とおく．このとき，${\displaystyle \underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f(r)}{\log r}}}$を求めよ．

[2.12]　2019年名大・理系

正の整数$n$に対して$1,2,\dots ,n$を一列に並べた順列を考える．そのような順列は$n!$個ある．このうち1つを等確率で選んだものを$(a_1,a_2,\dots ,a_n)$とする．この$(a_1,a_2,\dots ,a_n)$に対し，各添字$i=1,2,\dots ,n$について，$a_i$の値が$j$であるとき，その$j$を添字にもつ$a_j$の値が$k$であることを$a_i=j\to a_j=k$と書くことにする．ここで

$a_i=j\to a_j=k\to a_k=l\to \dots$

のようにたどり，それらを続けていく．例えば$(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)=(2,5,6,1,4,3,7)$のとき

(i)　$a_1=2\to a_2=5\to a_5=4\to a_4=1\to a_1=2$

(ii)　$a_3=6\to a_6=3\to a_3=6$

(iii)　$a_7=7\to a_7=7$

となり，どの$i$から始めても列は必ず一巡する．この一巡するそれぞれの列をサイクル，列に現れる相異なる整数の個数をサイクルの長さと呼ぶ．上の(i)，(ii)，(iii)は長さがそれぞれ$4,2,1$のサイクルになっている．

(1)　$n=3$とする．選んだ順列が長さ$1$のサイクルを含む確率を求めよ．

(2)　$n=4$とする．長さ$4$のサイクルを含む順列をすべて挙げよ．

(3)　$n$以下の正の整数$k$に対して${\displaystyle \sum _{j=k}^n{\displaystyle \frac{1}{j}}>\log (n+1)-\log k}$を示せ．

(4)　$n$を奇数とする．選んだ順列が長さ${\displaystyle \frac{n+1}{2}}$以上のサイクルを含む確率$p$は$p>\log 2$を満たすことを示せ．